Preface 我非常感谢查理·布罗德教授和查尔斯·斯诺博士对本书提出了许多有价值的批评意见，他们都读过我的手稿。他们提出的几乎所有建议的精髓都已被我采纳，我借此改正了书中许多经不起推敲或是令人费解的地方。 在处理那些建议时，我对书中的第28节采取了不同的做法，它是基于我年初发表在《顿悟》杂志（剑桥……

让职业数学家去写一本关于数学的书，他一定会很发愁。数学家的工作应该是去证明新定理、发现新数学，不该谈论自己或其他数学家做了什么。政治家看不起时事评论家，画家轻视艺术评论家，生理学家、物理学家、数学家们通常也有类似的感觉：这是实干家对评论家的藐视，没有比这种藐视更深刻，或总体来说更无可非议的了。解说、……

我打算替数学做一次辩白。也许有人会和我说，数学根本不需要这些，因为当下很少有研究工作能像数学一样，无论出于什么原因，都能被公认为是有益的，并且也值得称道。这也许是真的。事实上，由于爱因斯坦激动人心的成果，在大众眼里，可能只有恒星天文学和原子物理学的地位会比数学高。数学家不必认为自己正处于守势，也不需……

一个人想要证明自己的存在和行为是有意义的，就必须辨别两个不同的问题。第一个问题是，他的工作是否值得去做；第二个则是，无论其价值如何，他为什么要去做。前者通常很难回答，答案也常令人十分沮丧。然而，多数人会觉得回答后一个问题很容易。如果这些人是诚实的，那么答案通常会符合两种形式，由于第二种只是比第一种更……

关于年龄问题，我最好补充几句，因为它对数学家特别重要。任何一位数学家都不应该让自己忘记，比起任何其他艺术或科学，数学更是年轻人的游戏。举一个相对简单的例子，在英国皇家学会的入选者中，数学家的平均年龄是最小的。 我们还可以很轻松地找到更多引人注目的例证。比如，我们可以看看下面这个人的职业生涯，他无疑是……

还有一种答案，我把它称为第一种“更谦卑的变体”，我只用几句话一带而过。 （2）“没有什么事我能做得特别出色。我做我现在所做的，因为它刚好就在我面前。我的确从来没有机会去从事别的工作。”我同样认为这个辩解是无法反驳的。的确，大多数人什么也做不好。如果是这样，那么他们选择什么职业是无关紧要的，也确实没什……

现在，是时候开始思考我在第3节提出的第一个问题了，它比第二个问题更难。我和其他数学家所说的“数学”，真值得去研究吗？如果它是值得的，原因又是什么呢？ 在我1920年的牛津大学就职演说讲稿的开头几页，里有一份为数学辩白的大纲，我又重温了一遍。辩白的大纲很不完善（只有几页），现在看来，行文风格也不值得夸……

我想，我的这篇文章是为那些满怀壮志或曾经充满着雄心的人写的。一个人（至少是一个年轻人）的首要责任，就是要有雄心。雄心是一种高尚的激情，它可以采取多种合理的形式。在阿提拉和拿破仑的雄心里，有着某种崇高的东西。但最崇高的雄心，就是留下一些永恒的价值—— 这平坦的沙滩， 在海陆间漫延， 我该营造或写下什么……

如果求知欲、职业自尊心和雄心是从事研究的主要动机，那么毫无疑问，数学家是最有机会具备这些动机的人群了。他们所研究的是所有学科里最令人感到好奇的——没有一门学科所涉及的真理会搞出如此奇怪的把戏。数学学科拥有最精巧和最迷人的技巧，并且为人们提供了绝佳的机会来展示他们纯粹的专业技能。最后，历史还充分证明，……

这一切都让大学教师感到欣慰，尤其是数学教授。律师、政治家或商人有时会说，从事学术工作，主要是那些谨慎、没有抱负的人所追求的，他们只关心舒适和安全。这种指责是完全错误的。教师放弃了一些东西，尤其是赚大钱的机会——一位教授几乎不可能一年挣2000英镑。保证终身教职自然是他们考虑的因素之一，这也使他们容易……

和画家或诗人一样，数学家也是模式的创造者。如果说数学家创造的模式比前者的更持久，那是因为这些模式是由思想构成的。画家用形状和颜色创造样式，诗人用文字创造格律。一幅画中可能包含“思想”，但它的思想通常是老生常谈，并不怎么重要。在诗歌里，思想会更重要一些。但是，正如豪斯曼所坚持的那样，思想在诗歌中的重要……

国际象棋难题是真正的数学，但它在某种程度上只是“平凡的”数学。无论落子多么巧妙、多么复杂、多么独特、多么奇谲，它都是先天不足的。国际象棋难题不重要。最好的数学不仅是美丽的，而且是严肃的——如果你喜欢，也可以说它是“重要的”，但这个词很含糊，而“严肃”更能表达我的意思。 我没有讨论数学的“实用”效果，……

现在已经很清楚了，为了更进一步，让我来举些“真正的”数学定理的例子，并且所有数学家都认为它是第一流的。不过，我写作的限制太多。一方面，这些例子必须非常简单，没有专门数学知识的读者也能理解，不需要额外的预备知识也能看懂解释，从而理解证明。就数论而言，这些约束排除了大多数漂亮的定理，如费马“二平方”定理……

2.我的第二个例子，是毕达哥拉斯关于是无理数的证明。 所谓“有理数”是指分数b/a，其中a和b都是整数。我们假设a和b没有公因数，倘若它们有公因数，那么可以把它约掉。“是无理数”只不过是“2不能表示为（b/a）2的形式”的另一种说法。也就是说，不存在没有公因数的整数a和b可以满足方程 a2=2b2　……

首先，数学定理在严肃性上的优越性是显而易见的，也是毫无争议的。国际象棋难题虽然巧妙，但其思想的复杂性非常有限，它们的思路没有本质区别，也不会对外界产生什么影响。即便国际象棋从未被发明过，我们应该也会以同样的方式思考，而欧几里得定理和毕达哥拉斯定理即使在数学领域之外，都深刻地影响着我们的思想。 因此，……

所谓“严肃”的定理是那种包含了“重要”思想的定理，我想我应该更细致地分析一下，是什么使一个数学思想意义变得重大。这是非常困难的，我所能给出的任何分析，其实都未必非常有价值。当看到一个“重要”的概念时，我们可以辨识出它，就像在前面的两个基本定理中提到的那些概念一样。但这种辨别能力不但需要很高的数学修养……

“普遍性”是一个模棱两可而且相当危险的词，我们必须小心不要让它过多地主导我们的讨论。它在数学以及和数学有关的著作中有许多不同的含义，其中有一种是逻辑学家特别强调的，我们在这里不做讨论。除去那种，它是很容易被定义的，所有的数学定理都具有同等且彻底的普遍性。 怀特海说：“数学的确定性是由其完全抽象的普遍……

我对“重要思想”的第二个要求是深度，这一点更难定义。它和难度有关，“更深刻”的思想通常更难理解，但它们并不完全相同。毕达哥拉斯定理的基本思想及其推广是相当深刻的，但现在的数学家都不会认为它们很难。另一方面，某个定理可能本质上很浅显，却很难证明（就像许多“丢番图的”定理一样，所谓丢番图定理是一些关于方……

我在第11节开始对“真正的数学”和国际象棋做比较的时候，还留了一个问题。如今，我们可以理所当然地认为，在实质性、严肃性和重要性方面，真正的数学定理具有压倒性的优势。对受过良好教育的人而言，几乎同样显而易见的是，数学在美的方面也有很大优势，但这种优势更难定义和定位。国际象棋难题的主要不足显然是它太过“……

我必须回顾在牛津大学的那份辩白，更仔细地审视我在第6节最后提到的一些观点。现今很明显，我只对把数学当作一种具有创造性的艺术感兴趣。但我还需要考虑一些其他问题，特别是数学的“功用”（或无用性）问题，人们对这个问题的困惑很多。我们还必须考量数学是否真的像我在牛津大学的演讲里说的那样，可以想当然地认为它是……

所有这些似乎都很明显，但即便如此也经常会使人产生很多困惑，因为最“有用”的学科通常就是那些对大多数人来说最没用的。有足够多的生理学家和工程师是有好处的，但对普通人而言，生理学和工程学并不是有用的学问（尽管出于别的原因，人们也会为这些学问辩解）。就个人而言，我从未发现在纯数学以外所掌握的科学知识，给我……

到目前为止，我的结论可能已经很明确了，因此，我会马上直陈其是，然后再稍作解释。不可否认，大量的基础数学——这里的“基础”是以数学家的视角看待的，其中包括相当有用的微积分知识——是有相当大的实用价值的。总体而言，这部分数学内容相当枯燥，审美价值也是最小的。“真正”数学家的“真正”数学，即费马、欧拉、高……

我们必须警惕另外一种误解。人们很自然地会认为，“纯”数学和“应用”数学在功用方面的差别很大。这是一种错觉。虽然在这两种数学之间存在着巨大差异——稍后我会解释，但那几乎不会影响它们的功用。 纯数学和应用数学之间有什么不同呢？这是一个可以明确回答的问题，答案也是数学家们普遍认可的。我的回答一点也不离经叛……

也许在几何学里，纯数学和应用数学之间的差别是最明显的。纯几何科学是存在的，它包括了好几种几何——射影几何、欧氏几何、非欧几何，等等。这些几何都是一种模型、一种思想的模式，它们的评判依据是它所描述的特定模式的趣味性和美感。纯几何是一种映像或者是一幅图像，是很多人共同努力的结果，是数学实在的一部分中一份……

这里还有一种说法，物理学家可能认为它是个悖论，尽管这种悖论比起18年前可能已经少了许多。我会用与1922年向协会A组演讲时几乎相同的词汇来表达我的观点。那次的听众几乎全是物理学家，因此我的话可能略带挑衅，但是我仍然坚持自己说过的话。 我一开始就指出，数学家和物理学家的立场差别可能比人们通常认为的小。……

纯数学和应用数学之间的这些区别很重要，但它们对我们讨论数学的“有用性”几乎没什么影响。我在第21节提到的费马和其他伟大数学家们的“真正的”数学，都具有永恒的审美价值，例如最优秀的古希腊数学就有这种价值。数学是永恒的，因为最好的数学就像最优秀的文学作品，能在几千年后继续让成千上万的人在情感上非常满意。……

哪部分数学才是有用的呢？ 首先，中小学校里的大部分数学，如算术、初等代数、初等欧氏几何、初等微积分，都是有用的。我们必须排除一些“专业”知识，比如射影几何。在应用数学领域，力学原理是有用的（学校里教的电学归入物理学）。 其次，相当比例的大学数学也是有用的：一些是中小学数学的进阶，它们具备更完善的技巧……

有人可能会反对我对“效用”的理解太狭隘了，我只用“幸福感”或“舒适度”定义，不去考虑数学的一般“社会”效应，然而，近来的作者们则一直在以不同的方式强调数学的社会效益。因此，数学家怀特海指出：“数学知识对人们的生活、日常爱好，以及社会组织影响巨大。”霍格本（他对我和其他数学家所说的数学并不感兴趣，而怀……

有两种数学。一种是真正的数学家研究的“真正的”数学，另一种则是我所谓的“平凡的”数学——没有更好的词来形容这种数学了。平凡的数学可以用霍格本或他那一派的作者提出的论据来辩护，而真正的数学却没有这种辩词，即使它能被辩护，也只能把它当作艺术。这个观点一点也不含混，也没什么特别，数学家们普遍都是这么想的。……

最后，我用更个人的表达方式来总结一下。我在一开始就说，任何为自己从事的学科辩白的人，都会发现是在为自己说话。我对职业数学家生涯的辩白，本质上必然也是为我自己说话。因此，最后一节实质上是一段我的自传。 我只记得自己想当一名数学家。我一直很明确地认为，自己的特殊能力就是数学，我也从未想过询问长辈们的意见……

Note 布罗德教授和斯诺博士都对我说过，如果我要在科学带来的善与恶之间主持公道，就不能让自己过度沉迷于科学对战争的影响；而且，即便在考虑它们时，我也必须牢记，除了那些纯粹的破坏，还有许多非常重要的影响。因此（首先基于后者），我必须记住：（a）只有通过科学的方法才能组织起全员参加战争；（b）科学大大……